每日算法：数组中的第K个最大元素

在未排序的数组中找到第 k 个最大的元素。请注意，你需要找的是数组排序后的第 k 个最大的元素，而不是第 k 个不同的元素。

示例 1:

输入: [3,2,1,5,6,4] 和 k = 2
输出: 5

示例 2:

输入: [3,2,3,1,2,4,5,5,6] 和 k = 4
输出: 4

说明:

你可以假设 k 总是有效的，且 1 ≤ k ≤ 数组的长度。

目前已经刷了两道Topk问题，不过于三种方案：

• 排序，取第 k 个
• 构造前 k 个最大元素小顶堆，取堆顶
• 计数排序或桶排序，但它们都要求输入的数据必须是有确定范围的整数，所以本题不可用

那么除了这两种方案还有没有其它的方式可解决本题喃？其实还有两种：

• 快速选择（quickselect）算法
• 中位数的中位数（bfprt）算法

接下来一一解答

解法一：数组排序，取第 k 个数

最简单

代码实现：

let findKthLargest = function(nums, k) {
    nums.sort((a, b) => b - a);
    return nums[k-1]
};

复杂度分析：

• 时间复杂度：O(nlogn)
• 空间复杂度：O(logn)

解法二：构造前 k 个最大元素小顶堆，取堆顶

我们也可以通过构造一个前 k 个最大元素小顶堆来解决，小顶堆上的任意节点值都必须小于等于其左右子节点值，即堆顶是最小值。

所以我们可以从数组中取出 k 个元素构造一个小顶堆，然后将其余元素与小顶堆对比，如果大于堆顶则替换堆顶，然后堆化，所有元素遍历完成后，堆中的堆顶即为第 k 个最大值

具体步骤如下：

• 从数组中取前 k 个数（ 0 到 k-1 位），构造一个小顶堆
• 从 k 位开始遍历数组，每一个数据都和小顶堆的堆顶元素进行比较，如果小于堆顶元素，则不做任何处理，继续遍历下一元素；如果大于堆顶元素，则将这个元素替换掉堆顶元素，然后再堆化成一个小顶堆。
• 遍历完成后，堆顶的数据就是第 K 大的数据

代码实现：

let findKthLargest = function(nums, k) {
    // 从 nums 中取出前 k 个数，构建一个小顶堆
    let heap = [,], i = 0
    while(i < k) {
       heap.push(nums[i++]) 
    }
    buildHeap(heap, k)

    // 从 k 位开始遍历数组
    for(let i = k; i < nums.length; i++) {
        if(heap[1] < nums[i]) {
            // 替换并堆化
            heap[1] = nums[i]
            heapify(heap, k, 1)
        }
    }

    // 返回堆顶元素
    return heap[1]
};

// 原地建堆，从后往前，自上而下式建小顶堆
let buildHeap = (arr, k) => {
    if(k === 1) return
    // 从最后一个非叶子节点开始，自上而下式堆化
    for(let i = Math.floor(k/2); i>=1 ; i--) {
        heapify(arr, k, i)
    }
}

// 堆化
let heapify = (arr, k, i) => {
    // 自上而下式堆化
    while(true) {
        let minIndex = i
        if(2*i <= k && arr[2*i] < arr[i]) {
            minIndex = 2*i
        }
        if(2*i+1 <= k && arr[2*i+1] < arr[minIndex]) {
            minIndex = 2*i+1
        }
        if(minIndex !== i) {
            swap(arr, i, minIndex)
            i = minIndex
        } else {
            break
        }
    }
}

// 交换
let swap = (arr, i , j) => {
    let temp = arr[i]
    arr[i] = arr[j]
    arr[j] = temp
}

复杂度分析：

• 时间复杂度：遍历数组需要 O(n) 的时间复杂度，一次堆化需要 O(logk) 时间复杂度，所以利用堆求 Top k 问题的时间复杂度为 O(nlogk)
• 空间复杂度：O(k)

更多堆内容可查看 前端进阶算法9：看完这篇，再也不怕堆排序、Top K、中位数问题面试了

解法三：快速选择（quickselect）算法

无论是排序算法还是构造堆求解 Top k问题，我们都经过的一定量的不必要操作：

• 如果使用排序算法，我们仅仅想要的是第 k 个最大值，但对其余不需要的数也进行了排序
• 如果使用堆排序，需要维护一个大小为 k 的堆(大顶堆，小顶堆)，时间复杂度也为 O(nlogk)

快速选择（quickselect）算法与快排思路上相似，我们先看看快排是如何实现的？

快排

快排使用了分治策略的思想，所谓分治，顾名思义，就是分而治之，将一个复杂的问题，分成两个或多个相似的子问题，在把子问题分成更小的子问题，直到更小的子问题可以简单求解，求解子问题，则原问题的解则为子问题解的合并。

快排的过程简单的说只有三步：

• 首先从序列中选取一个数作为基准数
• 将比这个数大的数全部放到它的右边，把小于或者等于它的数全部放到它的左边 （一次快排 partition）
• 然后分别对基准的左右两边重复以上的操作，直到数组完全排序

具体按以下步骤实现：

• 1，创建两个指针分别指向数组的最左端以及最右端
• 2，在数组中任意取出一个元素作为基准
• 3，左指针开始向右移动，遇到比基准大的停止
• 4，右指针开始向左移动，遇到比基准小的元素停止，交换左右指针所指向的元素
• 5，重复3，4，直到左指针超过右指针，此时，比基准小的值就都会放在基准的左边，比基准大的值会出现在基准的右边
• 6，然后分别对基准的左右两边重复以上的操作，直到数组完全排序

注意这里的基准该如何选择喃？最简单的一种做法是每次都是选择最左边的元素作为基准，但这对几乎已经有序的序列来说，并不是最好的选择，它将会导致算法的最坏表现。还有一种做法，就是选择中间的数或通过 Math.random() 来随机选取一个数作为基准，下面的代码实现就是以随机数作为基准。

代码实现

let quickSort = (arr) => {
  quick(arr, 0 , arr.length - 1)
}

let quick = (arr, left, right) => {
  let index
  if(left < right) {
    // 划分数组
    index = partition(arr, left, right)
    if(left < index - 1) {
      quick(arr, left, index - 1)
    }
    if(index < right) {
      quick(arr, index, right)
    }
  }
}

// 一次快排
let partition = (arr, left, right) => {
  // 取中间项为基准
  var datum = arr[Math.floor(Math.random() * (right - left + 1)) + left],
      i = left,
      j = right
  // 开始调整
  while(i <= j) {

    // 左指针右移
    while(arr[i] < datum) {
      i++
    }

    // 右指针左移
    while(arr[j] > datum) {
      j--
    }

    // 交换
    if(i <= j) {
      swap(arr, i, j)
      i += 1
      j -= 1
    }
  }
  return i
}

// 交换
let swap = (arr, i , j) => {
    let temp = arr[i]
    arr[i] = arr[j]
    arr[j] = temp
}

// 测试
let arr = [1, 3, 2, 5, 4]
quickSort(arr)
console.log(arr) // [1, 2, 3, 4, 5]
// 第 2 个最大值
console.log(arr[arr.length - 2])  // 4

快排是从小到大排序，所以第 k 个最大值在 n-k 位置上

复杂度分析

• 时间复杂度：O(nlog~2~n)
• 空间复杂度：O(nlog~2~n)

快速选择（quickselect）算法

上面我们实现了快速排序来取第 k 个最大值，其实没必要那么麻烦，我们仅仅需要在每执行一次快排的时候，比较基准值位置是否在 n-k 位置上，如果小于 n-k ，则第 k 个最大值在基准值的右边，我们只需递归快排基准值右边的子序列即可；如果大于 n-k ，则第 k 个最大值在基准值的做边，我们只需递归快排基准值左边的子序列即可；如果等于 n-k ，则第 k 个最大值就是基准值

代码实现：

let findKthLargest = function(nums, k) {
    return quickSelect(nums, nums.length - k)
};

let quickSelect = (arr, k) => {
  return quick(arr, 0 , arr.length - 1, k)
}

let quick = (arr, left, right, k) => {
  let index
  if(left < right) {
    // 划分数组
    index = partition(arr, left, right)
    // Top k
    if(k === index) {
        return arr[index]
    } else if(k < index) {
        // Top k 在左边
        return quick(arr, left, index-1, k)
    } else {
        // Top k 在右边
        return quick(arr, index+1, right, k)
    }
  }
  return arr[left]
}

let partition = (arr, left, right) => {
  // 取中间项为基准
  var datum = arr[Math.floor(Math.random() * (right - left + 1)) + left],
      i = left,
      j = right
  // 开始调整
  while(i < j) {

    // 左指针右移
    while(arr[i] < datum) {
      i++
    }

    // 右指针左移
    while(arr[j] > datum) {
      j--
    }

    // 交换
    if(i < j) swap(arr, i, j)

    // 当数组中存在重复数据时，即都为datum，但位置不同
    // 继续递增i，防止死循环
    if(arr[i] === arr[j] && i !== j) {
        i++
    }
  }
  return i
}

// 交换
let swap = (arr, i , j) => {
    let temp = arr[i]
    arr[i] = arr[j]
    arr[j] = temp
}

复杂度分析：

• 时间复杂度：平均时间复杂度O(n)，最坏情况时间复杂度为O(n2)
• 空间复杂度：O(1)

解法四：中位数的中位数（BFPRT）算法

又称为中位数的中位数算法，它的最坏时间复杂度为 O(n) ，它是由Blum、Floyd、Pratt、Rivest、Tarjan提出。该算法的思想是修改快速选择算法的主元选取方法，提高算法在最坏情况下的时间复杂度。

在BFPTR算法中，仅仅是改变了快速选择（quickselect）算法中 Partion 中的基准值的选取，在快速选择（quickselect）算法中，我们可以选择第一个元素或者最后一个元素作为基准元，优化的可以选择随机一个元素作为基准元，而在 BFPTR 算法中，每次选择五分中位数的中位数作为基准元（也称为主元pivot），这样做的目的就是使得划分比较合理，从而避免了最坏情况的发生。

BFPRT 算法步骤如下：

• 选取主元

• 将 n 个元素按顺序分为 n/5 个组，每组 5 个元素，若有剩余，舍去

• 对于这 n/5 个组中的每一组使用插入排序找到它们各自的中位数

• 对于上一步中找到的所有中位数，调用 BFPRT 算法求出它们的中位数，作为主元；

• 以主元为分界点，把小于主元的放在左边，大于主元的放在右边；

• 判断主元的位置与 k 的大小，有选择的对左边或右边递归

代码实现：

let findKthLargest = function(nums, k) {
    return nums[bfprt(nums, 0, nums.length - 1, nums.length - k)]
}

let bfprt = (arr, left , right, k) => {
  let index
  if(left < right) {
    // 划分数组
    index = partition(arr, left, right)
    // Top k
    if(k === index) {
        return index
    } else if(k < index) {
        // Top k 在左边
        return bfprt(arr, left, index-1, k)
    } else {
        // Top k 在右边
        return bfprt(arr, index+1, right, k)
    }
  }
  return left
}

let partition = (arr, left, right) => {
  // 基准
  var datum = arr[findMid(arr, left, right)],
      i = left,
      j = right
  // 开始调整
  while(i < j) {
    // 左指针右移
    while(arr[i] < datum) {
      i++
    }

    // 右指针左移
    while(arr[j] > datum) {
      j--
    }

    // 交换
    if(i < j) swap(arr, i, j)

    // 当数组中存在重复数据时，即都为datum，但位置不同
    // 继续递增i，防止死循环
    if(arr[i] === arr[j] && i !== j) {
        i++
    }
  }
  return i
}

/**
 * 数组 arr[left, right] 每五个元素作为一组，并计算每组的中位数，
 * 最后返回这些中位数的中位数下标（即主元下标）。
 *
 * @attention 末尾返回语句最后一个参数多加一个 1 的作用其实就是向上取整的意思，
 * 这样可以始终保持 k 大于 0。
 */
let findMid = (arr, left, right) => {
    if (right - left < 5)
        return insertSort(arr, left, right);

    let n = left - 1;

    // 每五个作为一组，求出中位数，并把这些中位数全部依次移动到数组左边
    for (let i = left; i + 4 <= right; i += 5)
    {
        let index = insertSort(arr, i, i + 4);
        swap(arr[++n], arr[index]);
    }

    // 利用 bfprt 得到这些中位数的中位数下标（即主元下标）
    return findMid(arr, left, n);
}

/**
 * 对数组 arr[left, right] 进行插入排序，并返回 [left, right]
 * 的中位数。
 */
let insertSort = (arr, left, right) => {
    let temp, j
    for (let i = left + 1; i <= right; i++) {
        temp = arr[i];
        j = i - 1;
        while (j >= left && arr[j] > temp)
        {
            arr[j + 1] = arr[j];
            j--;
        }
        arr[j + 1] = temp;
    }
    return ((right - left) >> 1) + left;
}

// 交换
let swap = (arr, i , j) => {
    let temp = arr[i]
    arr[i] = arr[j]
    arr[j] = temp
}

复杂度分析：

为什么是5？

在BFPRT算法中，为什么是选5个作为分组？

首先，偶数排除，因为对于奇数来说，中位数更容易计算。

如果选用3，有 ，其操作元素个数还是 n 。

如果选取7，9或者更大，在插入排序时耗时增加，常数 c 会很大，有些得不偿失。

总结

所以，这里我们总结一下，求topk问题其实并不难，主要有以下几个思路：

• 整体排序：O(nlogn)
• 局部排序：只冒泡排序前k个最大值，O(nk)
• 堆：O(nlogk)
• 计数或桶排序：计数排序用于前k个最值，时间复杂度为O(n + m)，其中 m 表示数据范围；桶排序用于最高频k个，时间复杂度为O(n)；但这两者都要求输入数据必须是有确定范围的整数
• 快速选择（quickselect）算法：平均O(n)，最坏O(n2)
• 中位数的中位数（bfprt）算法：最坏O(n)