别人家的面试题：统计“1”的个数

小胡子哥 @Barret李靖 给我推荐了一个写算法刷题的地方 leetcode.com，没有 ACM 那么难，但题目很有趣。而且据说这些题目都来源于一些公司的面试题。好吧，解解别人公司的面试题其实很好玩，既能整理思路锻炼能力，又不用担心漏题 ╮(╯▽╰)╭。

长话短说，让我们来看一道题：

统计"1"的个数

给定一个非负整数 num，对于任意 i，0 ≤ i ≤ num，计算 i 的值对应的二进制数中 "1" 的个数，将这些结果返回为一个数组。

例如：

当 num = 5 时，返回值为 [0,1,1,2,1,2]。

/**
     * @param {number} num
     * @return {number[]}
     */
    var countBits = function(num) {
        //在此处实现代码
    };

解题思路

这道题咋一看还挺简单的，无非是：

• 实现一个方法 countBit，对任意非负整数 n，计算它的二进制数中"1"的个数
• 循环 i 从 0 到 num，求 countBit(i)，将值放在数组中返回。

JavaScript中，计算 countBit 可以取巧：

function countBit(n){
        return n.toString(2).replace(/0/g,"").length;
    }

上面的代码里，我们直接对 n 用 toString(2) 转成二进制表示的字符串，然后去掉其中的0，剩下的就是"1"的个数。

然后，我们写一下完整的程序：

版本1

function countBit(n){
      return n.toString(2).replace(/0/g,"").length;
    }

    function countBits(nums){
      var ret = [];
      for(var i = 0; i <= nums; i++){
        ret.push(countBit(i));
      } 
      return ret;
    }

上面这种写法十分讨巧，好处是 countBit 利用 JavaScript 语言特性实现得十分简洁，坏处是如果将来要将它改写成其他语言的版本，就有可能懵B了，它不是很通用，而且它的性能还取决于 Number.prototype.toString(2) 和 String.prototype.replace 的实现。

所以为了追求更好的写法，我们有必要考虑一下 countBit 的通用实现法。

我们说，求一个整数的二进制表示中 "1" 的个数，最普通的当然是一个 O(logN) 的方法：

function countBit(n){
        var ret = 0;
        while(n > 0){
            ret += n & 1;
            n >>= 1;
        }
        return ret;
    }

所以我们有了版本2

这么实现也很简洁不是吗？但是这么实现是否最优？建议此处思考10秒钟再往下看。

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更快的 countBit

上一个版本的 countBit 的时间复杂度已经是 O(logN) 了，难道还可以更快吗？当然是可以的，我们不需要去判断每一位是不是"1"，也能知道 n 的二进制中有几个"1"。

有一个诀窍，是基于以下一个定律：

• 对于任意 n， n ≥ 1，有如下等式成立：

countBit(n & (n - 1)) === countBit(n) - 1

这个很容易理解，大家只要想一下，对于任意 n，n - 1 的二进制数表示正好是 n 的二进制数的最末一个"1"退位，因此 n & n - 1 正好将 n 的最末一位"1"消去，例如：

• 6 的二进制数是 110， 5 = 6 - 1 的二进制数是 101，6 & 5 的二进制数是 110 & 101 == 100

• 88 的二进制数是 1011000，87 = 88 - 1 的二进制数是 1010111，88 & 87 的二进制数是 1011000 & 1010111 == 1010000

于是，我们有了一个更快的算法：

版本3

function countBit(n){
        var ret = 0;
        while(n > 0){
            ret++;
            n &= n - 1;
        }
        return ret;
    }

    function countBits(nums){
      var ret = [];
      for(var i = 0; i <= nums; i++){
        ret.push(countBit(i));
      } 
      return ret;
    }

上面的 countBit(88) 只循环 3 次，而"版本2"的 countBit(88) 却需要循环 7 次。

优化到了这个程度，是不是一切都结束了呢？从算法上来说似乎已经是极致了？真的吗？再给大家 30 秒时间思考一下，然后再往下看。

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countBits 的时间复杂度

考虑 countBits， 上面的算法：

• "版本1" 的时间复杂度是 O(N*M)，M 取决于 Number.prototype.toString 和 String.prototype.replace 的复杂度。
• "版本2" 的时间复杂度是 O(N*logN)
• "版本3" 的时间复杂度是 O(N*M)，M 是 N 的二进制数中的"1"的个数，介于 1 ~ logN 之间。

上面三个版本的 countBits 的时间复杂度都大于 O(N)。那么有没有时间复杂度 O(N) 的算法呢？

实际上，"版本3"已经为我们提示了答案，答案就在上面的那个定律里，我把那个等式再写一遍：

countBit(n & (n - 1)) === countBit(n) - 1

也就是说，如果我们知道了 countBit(n & (n - 1))，那么我们也就知道了 countBit(n)！

而我们知道 countBit(0) 的值是 0，于是，我们可以很简单的递推：

版本4

function countBits(nums){
        var ret = [0];
        for(var i = 1; i <= nums; i++){
            ret.push(ret[i & i - 1] + 1);
        }
        return ret;
    }

原来就这么简单，你想到了吗 ╮(╯▽╰)╭

以上就是所有的内容，简单的题目思考起来很有意思吧？程序员就应该追求完美的算法，不是吗？

这是 leetcode 算法面试题系列的第一期，下一期我们讨论另外一道题，这道题也很有趣：判断一个非负整数是否是 4 的整数次方，别告诉我你用循环，想想更巧妙的办法吧~