使用Python求解最大公约数的实现方法

1. 欧几里德算法

欧几里德算法又称辗转相除法， 用于计算两个整数a, b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理：
定理： gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)

证明：
a可以表示成a = kb + r, 则r = a mod b
假设d是a, b的一个公约数， 则有 d|a, d|b, 而r = a - kb, 因此d|r。
因此，d是(b, a mod b)的公约数。
加上d是(b，a mod b)的公约数，则d|b, d|r, 但是a = kb + r,因此d也是(a, b)的公约数。
因此，(a, b) 和(a, a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证。

欧几里德的Python语言描述为：

    def gcd(a, b):
     if a < b:
      a, b = b, a

     while b != 0:
      temp = a % b
      a = b
      b = temp

     return a

2. Stein算法
欧几里德算法是计算两个数最大公约数的传统算法，无论是理论，还是从效率上都是很好的。但是他有一个致命的缺陷，这个缺陷只有在很大的素数时才会显现出来。
考虑现在的硬件平台，一般整数最多也就是64位， 对于这样的整数，计算两个数值就的模很简单的。对于字长为32位的平台，计算两个不超过32位的整数的模，只需要一个指令周期，而计算64位以下的整数模，也不过几个周期而已。但是对于更大的素数，这样的计算过程就不得不由用户来设计，为了计算两个超过64位的整数的模，用户也许不得不采用类似于多位除法手算过程中的试商法，这个过程不但复杂，而且消耗了很多CPU时间。对于现代密码算法，要求计算128位以上的素数的情况比比皆是，设计这样的程序迫切希望能够抛弃除法和取模。
Stein算法由J.Stein 1961年提出，这个方法也是计算两个数的最大公约数。和欧几里德算法不同的是，Stein算法只有整数的移位和加减法，这对于程序设计者是一个福音。
为了说明Stein算法的正确性，首先必须注意到以下结论：
gcd(a, a) = a， 也就是一个数和他自己的公约数是其自身。
gcd(ka, kb) = k * gcd(a, b)，也就是最大公约数运算和倍乘运算可以交换，特殊的，当k=2时，说明两个偶数的最大公约数比如能被2整除。
Stein算法的python实现如下：

    def gcd_Stein(a, b):  
      if a < b:
        a, b = b, a
      if (0 == b):
        return a
      if a % 2 == 0 and b % 2 == 0:
        return 2 * gcd_Stein(a/2, b/2)
      if a % 2 == 0:
        return gcd_Stein(a / 2, b)
      if b % 2 == 0:
        return gcd_Stein(a, b / 2)

      return gcd_Stein((a + b) / 2, (a - b) / 2) 

3. 一般求解实现

核心代码很简单：

    def gcd(a, b):
    if b == 0:return a
    return gcd(b, a % b)

附上一个用Python实现求最大公约数同时判断是否是素数的一般方法：
程序如下:

    #!/usr/bin/env python 

    def showMaxFactor(num): 
      count = num / 2  
      while count > 1: 
        if num % count == 0: 
          print 'largest factor of %d is %d' % (num, count) 
          break    #break跳出时会跳出下面的else语句 
        count -= 1 
      else: 
        print num, "is prime" 

    for eachNum in range(10,21): 
      showMaxFactor(eachNum) 

输出如下:

    largest factor of 10 is 5
    11 is prime
    largest factor of 12 is 6
    13 is prime
    largest factor of 14 is 7
    largest factor of 15 is 5
    largest factor of 16 is 8
    17 is prime
    largest factor of 18 is 9
    19 is prime
    largest factor of 20 is 10